(本小题满分12分)
如图，四棱锥
中，
为矩形，平面
平面.
求证：
若
问
为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面
与平面
夹角的余弦值.
（1）详见解析，（2）
时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
解析试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故AB
AD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD
平面PAD，所以ABPD
（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P作AD的垂线，垂足为O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用
表示高及底面积：设
，则
，故四棱锥P-ABCD的体积为
故当
时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.
求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD
（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.
故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中，
设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系，
故
设平面BPC的法向量
，则由
,
得
解得
同理可求出平面DPC的法向量
，从而平面BPC与平面DPC夹角
的余弦值为
考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在直三棱柱中
-A BC中，AB 
AC， AB=AC=2，
=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求平面
与
所成二面角的正弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90
，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为
，求二面角A1-AB-C的大小.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，
，
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
，
分别是，
的中点，
．
（1）证明：
；
（2）证明：
；
（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥
内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）证明：AP⊥BC；
（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
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，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值.
中，点
分别是棱
的中点． 
//平面
；
平面
，
，求证：
．
与平面
相交，直线
是平面
，则直线