Question

5．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点F也是椭圆${C_2}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点，C₁与C₂的公共弦长为$2\sqrt{6}$，过点F的直线l与C₁相交于A，B两点，与C₂相交于C，D两点，且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向．
（1）求C₂的方程；
（2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量即可得到椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），AB=CD，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，利用韦达定理求出AB，由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$求出CD，然后求解直线的斜率．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由${C_1}：{y^2}=4x$知其焦点F的坐标为（1，0），
因为F也是椭圆C₂的一个焦点，所以a²-b²①；
又C₁与C₂的公共弦长为$2\sqrt{6}，{C_1}$与C₂都关于x轴对称，
且C₁的方程为${C_1}：{y^2}=4x$，由此易知C₁与C₂的公共点的坐标为$（{\frac{3}{2}，±\sqrt{6}}）$，
∴$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{6}{b^2}=1$②，
联立①②得a²=9，b²=8，
故C₂的方程为${C_2}：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
因$\overline{AC}$与$\overline{BD}$同向，且|AC|=|BD|知AB=CD，
设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由x₁，x₂是这个方程的两根，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，从而$AB=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得（8+9k²）x²-18k²x+9k²-72=0，而x₃，x₄是这个方程的两根，
${x_3}+{x_4}=\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}$，从而$CD=6-\frac{1}{3}\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}=\frac{{48（{1+{k^2}}）}}{{8+9{k^2}}}$，
由AB=CD得：3k²=8，解得$k=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即直线l的斜率为$±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查抛物线与椭圆的位置关系，直线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．