Question

设命题p：非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）的充要条件：命题q：平面上M为一动点，A，B，C三点共线的充要条件是存在角α，使

MA

=sin²α

MB

+cos²α

MC

，下列命题①p∧q；②p∨q③￢p∧q；④￢p∨q．
其中假命题的序号是

 

．（将假命题的序号都填上）

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：根据两向量垂直的充要条件，数量积的运算，共线向量基本定量，向量的减法即可判断命题p，q的真假，从而找出假命题的序号．

解答： 解：|

a

|=|

b

|时，(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0；
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
若(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)，则(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0；
∴|

a

|=|

b

|；
∴|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要条件；
∴命题p是真命题；
（1）若存在角α，使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

，则：

MA

-

MB

=(sin2α-1)

MB

+cos2α

MC

；
∴

BA

=cos2α

BC

；
∴A，B，C三点共线；
（2）若三点A，B，C共线，如图，

存在实数λ＞0，使

BA

=λ

CB

；
∴

MA

-

MB

=λ(

MB

-

MC

)；
∴

MA

=(1+λ)

MB

-λ

MC

；
∴不存在角α使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

；
∴存在角α使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

是A，B，C三点共线的充分不必要条件；
∴命题q是假命题；
∴p∧q，￢p∧q，￢p∨q是假命题．
∴假命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：考查两向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，共线向量基本定理，以及sin²α+cos²α=1，充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件的概念，p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系．