Question

已知函数f(x)＝的图像在点（为自然常数）处的切线斜率为3.
(Ⅰ)求实数的值
(Ⅱ)若，且对任意的恒成立，求得最大值
(Ⅲ)当时，证明

Answer 1

（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．（2分）
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．（3分）
令，则，（4分）
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分）
因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
．（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．（8分）
（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，（9分）
所以当n＞m≥4时，．（10分）
即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．（11分）
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）
证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx，（9分）
则f'（x）=（m﹣1）lnx+m﹣1﹣mlnm．（10分）
因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m﹣1）lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm＞0．
所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．（11分）
因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．
所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn＞m²lnm+mlnm﹣m²lnm﹣mlnm=0．（12分）
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

略