Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，有以下命题
①若A₁在底面ABC内的投影为△ABC的中心，∠A₁AB=60°；
②若A₁在底面ABC内的投影为△ABC的中心，则AB₁与面ABC所成角的正弦值为

3

3

；
③若A₁在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则二面角A₁-AB-C的正切值为

2 3

3

④若A₁在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则AB₁与面ABC所成角的正弦值为

14

14

．
以上正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，①②画出一个图形，③和④各画出一个图形，先找出角，再计算所求的值，从而判定命题是否正确．

解答：解：①中，如图；
A₁在底面ABC内的投影为△ABC的中心O，
则A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥AB；
又OD⊥AB，∴AB⊥A₁D；
又AD=

1

2

AA₁，∴cos∠A₁AB=

1

2

，∴∠A₁AB=60°，①正确；
②中，如①中图，∠A₁BO是AB₁与面ABC所成的角，
则A₁B=A₁A，AO=

2

3

×

3

2

AB=

3

3

A₁A，
∴cos∠A₁BO=

3

3

，sin∠A₁BO=

6

3

，∴②错误；
③中，如图；
A₁在底面ABC内的投影为线段BC的中点O，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接A₁D，
则∠A₁DO是二面角A₁-AB-C的平面角，
∴tan∠A₁DO=

A1O

OD

=

1 2 AB

3 4 AB

=

2 3

3

，∴③正确；
④中，如图；
A₁在底面ABC内的投影为线段BC的中点O，
过点B₁作B₁E⊥平面ABC，垂足为E，连接AE，则∠B₁AE是AB₁与面ABC所成的角，
∴sin∠B₁AE=

B1E

AB1

=

1 2 AB

7 2 AB

=

14

14

，∴④正确；
故答案为：①③④．

点评：本题考查了求空间中的线线，线面以及面面所成的角的问题，解题时应先找出角，再计算所求的值．