Question

设命题P：关于x的不等2^x＜a的解集为∅；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析：求出使不等式2^x＜a的解集为∅的a的取值范围，也就是命题p为真命题的a的范围，取其补集得到使命题p为假命题的a的取值范围，同样求出使函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R的a的取值范围，也就是使命题q为真命题的a的取值范围，取其补集得到命题q为假命题的a的取值范围，取交集后在取并集运算．

解答：解：因为2^x＞0，所以要使关于x的不等2^x＜a的解集为∅，则a≤0，即p真：a≤0；则p假：a＞0．
要使函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R，则

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得a＞

1

2

，即q真：a＞

1

2

；则q假：a≤

1

2

．
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p真q假或p假q真．
若p真q假，则a≤0；若p假q真，则a＞

1

2

．
故“p∨q”为真，“p∧q”为假的a的取值范围是(-∞，0]∪(

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了指数函数的值域及对数型函数定义域的求法，解答过程运用了补集思想，关键是要熟记复合命题的真值表，属基础题．