Question

若函数f（x）=（x²+mx+n）（1-x²）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（　　）

• A、16
• B、14
• C、15
• D、18

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据对称性求出m，n，利用导数研究函数的最值即可．

解答： 解：∵f（x）=（x²+mx+n）（1-x²）的图象关于直线x=2对称，
∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），
即

9+3m+n=0 25+5m+n=0

，解得m=-8，m=15，
即f（x）=（x²-8x+15）（1-x²）=x⁴+8x³-14x²-8x+15，
则f′（x）=-4x³+24x²-28x-8=-4（x-2）（x²-4x-1），
由f′（x）=0，解得x=2或x=2+

5

或x=2-

5

，
由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+

5

或x＜2-

5

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得2-

5

＜x＜2或x＞2+

5

，此时函数单调递减，
作出对应的函数图象如图：
则当x=2+

5

或2-

5

时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值
则f（2+

5

）=16，
故选：A．

点评：本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出m，n的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大