Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣C1CD的体积；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC1？请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，则B1C1∥BC， ∵B1C1平面BCD，BC平面BCD，则B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）解：∵D为棱AA1的中点，∴ ，
∵AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1 ， 又BC⊥AC，且AC∩AA1=A，
∴BC⊥平面CDC1 ，
∴ = ；
（Ⅲ）解：线段BD上存在点Q（ ），使得CQ⊥BC1 ．
事实上，以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），
假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1 ， 设Q（x，y，z），
再设 ，则（x，y﹣1，z）=λ（1，﹣1，1），得x=λ，y=1﹣λ，z=λ，
则Q（λ，1﹣λ，λ），
∴ =（λ，1﹣λ，λ）， ，
由 ，得 ．
∴线段BD上存在点Q（ ），使得CQ⊥BC1 ．

【解析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1为棱柱，可得B1C1∥BC，再由线面平行的判定可得B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）由D为棱AA1的中点求出三角形CC1D，再证明BC⊥平面CDC1 ， 即可求得三棱锥B﹣C1CD的体积；（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出所用点的坐标，假设在线段BD上存在点Q，使得CQ⊥BC1 ， 求出Q的坐标，由数量积为0得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．