Question

18．已知集合A={x∈R|0≤log₂x≤2}．
（Ⅰ）若集合B={a²+4a+8，a+3，3log₂|-a|}，且满足B⊆A，求实数a的值；
（Ⅱ）若集合C={y|y=x^m，x∈A，m∈R}，且满足A∪C=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解不等式化简A，由B⊆A，得a²+4a+8≤4，得到a=-2，再把a=-2代入集合B得答案；
（Ⅱ）由A∪C=A，得C⊆A，然后分m=0，m＜0，m＞0三种情况讨论求解实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）A={x∈R|0≤log₂x≤2}={x|1≤x≤4}，
∵B⊆A，∴a²+4a+8≤4，于是（a+2）²≤0，又（a+2）²≥0，故a=-2，
代入集合B={4，1，3}，符合条件，故实数a的值为-2；
（Ⅱ）由A∪C=A，得C⊆A．
当m=0时，C={1}，符合题意；
当m＜0时，函数y=x^m在[1，4]上单调递减，则C=[4^m，1]，不符合条件，舍去；
当m＞0时，函数y=x^m在[1，4]上单调递增，则C=[1，4^m]，
由条件知4^m≤4，解得0＜m≤1．
综上所述，实数m的取值范围为[0，1]．

点评 本题考查并集及其运算，考查了集合的包含关系的判断及应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．