精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点;当抛物线上点N的纵坐标为1时,|NF|=2,已知直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点
(1)求抛物线C的方程;
(2)若△AOB的面积为4,求直线l的方程.
(1)由已知得焦点F(0,
p
2
)
,准线方程为y=-
p
2

由抛物线的定义及点N的纵坐标为1,得|NF|=
p
2
+yN=
p
2
+1

又|NF|=2,
p
2
+1=2∴p=2

∴抛物线的方程为x2=4y(4分)
(2)依题意设直线l的方程为:y=kx+1(k必存在)
y=kx+1
x2=4y
x2-4kx-4=0
,…(6分)
则△=16k2+16>0,
设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=4k,x1x2=-4,…(8分)
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=4(1+k2)
…(10分)
∵O到AB的距离d=
1
k2+1

S△AOB=
1
2
|AB|d=2
k2+1
=4

k=±
3

∴直线方程为y=±
3
x+1
…..(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在同一坐标系中,方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
与bx2=-ay(a>b>0)表示的曲线大致是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆C:x2+
y2
a2
=1(a>1)
的离心率为e,点F为其下焦点,点O为坐标原点,过F的直线l:y=mx-c(其中c=
a2-1
)与椭圆C相交于P,Q两点,且满足:
OP
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2

(Ⅰ)试用a表示m2
(Ⅱ)求e的最大值;
(Ⅲ)若e∈(
1
3
1
2
)
,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为4
3

(1)若椭圆的离心率e=
3
3
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,
MF1
MF2
=1,求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的焦点在x轴上,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=
2
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求点R(0,1)与椭圆C上的点N之间的最大距离;
(Ⅲ)设Q是椭圆C上的一点,过Q的直线l交x轴于点P(-3,0),交y轴于点M.若
MQ
=2
QP
,求直线l的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在直线l:x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆,当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此椭圆方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x-2于M、N两点,求|MN|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知O为坐标原点,F是抛物线E:y2=4x的焦点.
(Ⅰ)过F作直线l交抛物线E于P,Q两点,求
OP
OQ
的值;
(Ⅱ)过点T(t,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A,B,C,D四点,且M,N分别为线段AB,CD的中点,求△TMN的面积最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点P(1,1)作直线与双曲线x2-
y2
2
=1
交于A、B两点,使点P为AB中点,则这样的直线(  )
A.存在一条,且方程为2x-y-1=0
B.存在无数条
C.存在两条,方程为2x±(y+1)=0
D.不存在

查看答案和解析>>

同步练习册答案