已知函数f(x)=loga(x2-4ax+3a2)(a>0,a≠1).
(I)求函数f(x)的定义域;
(II)若f(x)在区间[a+2,a+3]上满足|f(x)|≤1,试确定a的取值范围.
分析:(I)求函数f(x)的定义域,依据对数函数的定义,底数大于0且不等于1,真数大于0,转化为不等式用参数a表示出函数f(x)的定义域;
(II)由(I)的结论知[a+2,a+3]必为(0,a)或者(3a,+∞)的子集,故[a+2,a+3]必为f(x)的单调区间,欲满足|f(x)|≤1,只须|f(a+2)|≤1,|f(a+3)|≤1同时成立,解此二不等式即可求得a的取值范围.
解答:解:(I)由对数定义知a>0且a≠1,
由 x
2-4ax+3a
2>0,变形得(x-3a)(x-a)>0
解得 x>3a,或 x<a
所以定义域(0,a)∪(3a,+∞)
(II)由(I)的结论知[a+2,a+3]必为(0,a)或者(3a,+∞)的子集,故[a+2,a+3]必为f(x)的单调区间,
若[a+2,a+3]?(0,a),a无解
若[a+2,a+3]?(3a,+∞)则a+2>3a,得a<1,此时外层函数为减函数,内层函数t=x
2-4ax+3a
2在区间[a+2,a+3]上是增函数
∴f(x)在区间[a+2,a+3]上是减函数,又满足|f(x)|≤1,
∴
解得
即
a≤ - 又a>0,故a的取值范围是(0,
-)
点评:本题考查对数型复合函数,求其定义域时要注意底数大于0且不等式于1,第二问考查了利用复合函数的单调性转化为不等式求参数,有一定难度.