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已知函数f(x)=loga(x2-4ax+3a2)(a>0,a≠1).
(I)求函数f(x)的定义域;
(II)若f(x)在区间[a+2,a+3]上满足|f(x)|≤1,试确定a的取值范围.
分析:(I)求函数f(x)的定义域,依据对数函数的定义,底数大于0且不等于1,真数大于0,转化为不等式用参数a表示出函数f(x)的定义域;
(II)由(I)的结论知[a+2,a+3]必为(0,a)或者(3a,+∞)的子集,故[a+2,a+3]必为f(x)的单调区间,欲满足|f(x)|≤1,只须|f(a+2)|≤1,|f(a+3)|≤1同时成立,解此二不等式即可求得a的取值范围.
解答:解:(I)由对数定义知a>0且a≠1,
   由  x2-4ax+3a2>0,变形得(x-3a)(x-a)>0
   解得  x>3a,或  x<a
   所以定义域(0,a)∪(3a,+∞)
 (II)由(I)的结论知[a+2,a+3]必为(0,a)或者(3a,+∞)的子集,故[a+2,a+3]必为f(x)的单调区间,
   若[a+2,a+3]?(0,a),a无解
   若[a+2,a+3]?(3a,+∞)则a+2>3a,得a<1,此时外层函数为减函数,内层函数t=x2-4ax+3a2在区间[a+2,a+3]上是增函数
∴f(x)在区间[a+2,a+3]上是减函数,又满足|f(x)|≤1,
f(a+2)≤1
f(a+3)≤1
解得
a≤
4
5
a≥
3
4
+
14
6
或a≤
3
4
-
14
6
a≤ 
3
4
-
14
6

   又a>0,故a的取值范围是(0,
3
4
-
14
6
点评:本题考查对数型复合函数,求其定义域时要注意底数大于0且不等式于1,第二问考查了利用复合函数的单调性转化为不等式求参数,有一定难度.
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2
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1
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3
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3
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x
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6
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6
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