Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点．

(1)求实数m的取值范围；
(2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

（1）(－2,0)∪(0,2)（2）见解析

(1)设椭圆方程为 (a＞b＞0)，
由题意得∴
∴椭圆方程为＝1.
由题意可得直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则点A，B的坐标是方程组的两组解，
消去y得x²＋2mx＋2m²－4＝0.
∵Δ＝4m²－4(2m²－4)＞0，∴－2＜m＜2.
又∵m≠0，∴实数m的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．
(2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
只需证明k₁＋k₂＝0即可，
由(1)得x²＋2mx＋2m²－4＝0，
∴x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4，
∵k₁＋k₂＝＝
＝??＝＝0， ?
∴直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形．