Question

设函数f（x）=

ex+e-x 2 ，x≥0 ex-e-x 2 ，x＜0

，若方程f（x）=a恰有一实根，则a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，0]∪（1，+∞）
• B、（-∞，0）∪[1，+∞）
• C、（-∞，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，0）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由分段函数可知，可依次判断其单调性，由此确定a的取值范围．

解答： 解：当x＜0时，
易知函数f（x）=

ex-e-x

2

为增函数；
当x≥0时，
令t=e^x（t≥1），其在[0，+∞）上是增函数，
且y=

t+t-1

2

在[1，+∞）上也是增函数，
则函数f（x）=

ex+e-x

2

也为增函数；
又∵f（x）=

ex-e-x

2

＜

e0-e0

2

=0，
f（x）=

ex+e-x

2

≥f（0）=1，
则若方程f（x）=a恰有一实根，则
a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）．
故选B．

点评：本题考查了方程的根与函数的交点之间的关系，同时考查了分段函数的单调性的判断，属于中档题．