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【题目】已知椭圆E: 经过点P(2,1),且离心率为

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点MN满足,直线PM、PN分别交椭圆于A,B.探求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由.

【答案】(1);(2)直线AB过定点Q(0,﹣2).

【解析】试题分析:(1)根据椭圆的几何性质得到椭圆方程;(2)先由特殊情况得到结果,再考虑一般情况,联立直线和椭圆得到二次函数,根据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果。

(Ⅰ)由椭圆的离心率e=,则a2=4b2, 将P(2,1)代入椭圆,则,解得:b2=2,则a2=8, ∴椭圆的方程为:

(Ⅱ)当MN分别是短轴的端点时,显然直线ABy轴,所以若直线过定点,这个定点一点在y轴上,

MN不是短轴的端点时,设直线AB的方程为y=kx+t,设Ax1y1)、Bx2y2),

消去y得(1+4k2x2+8ktx+4t2﹣8=0,·则△=16(8k2t2+2)>0,

x1+x2=x1x2=

又直线PA的方程为y﹣1=x﹣2),即y﹣1=x﹣2),

因此M点坐标为(0, ),同理可知:N(0, ),

,则+=0,

化简整理得:(2﹣4kx1x2﹣(2﹣4k+2t)(x1+x2)+8t=0,

则(2﹣4k)×﹣(2﹣4k+2t)()+8t=0,

当且仅当t=﹣2时,对任意的k都成立,直线AB过定点Q(0,﹣2).

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分组

频数

频率

[50,60)

0.08

[60,70)

7

[70,80)

10

[80,90)

[90,100)

2

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A.
B.
C.
D.

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