Question

已知函数y=f（x）是对数函数，且它的图象过点（4，2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f(1)，f(32)，f(

1

8

)的值；
（3）解不等式f（2x）＞f（-x+3）．

Answer 1

分析：（1）设f(x)=lo

g

x a

(a＞0，a≠1)，由图象过点（4，2），求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）根据函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质求得f（1）、f（32）、f（

1

8

）的值．
（3）由f（2x）＞f（-x+3）得：

2x ＞0 -x+3 ＞0 2x ＞-x+3

，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）设f(x)=lo

g

x a

(a＞0，a≠1)，由图象过点（4，2），可得log_a4=2，即a²=4，解得 a=±2，
结合题意可得，只有a=2，
∴函数f（x）的解析式为 f(x)=lo

g

x 2

．
（2）由（1）得，f（1）=log₂1=0，f（32）=log₂32=5，f（

1

8

）=log2

1

8

=-3．
（3）由f（2x）＞f（-x+3）得：

2x ＞0 -x+3 ＞0 2x ＞-x+3

，解得1＜x＜3，
故此不等式的解集为{x|1＜x＜3}．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，对数不等式的解法，属于中档题．