Question

【题目】已知数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0
（1）令cn= ，证明数列{cn}是等差数列，并求{cn}的通项公式
（2）若bn=2n﹣1 ， 求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，得

=1，

因为cn= ，

所以cn+1﹣cn=1，

所以数列{cn}是等差数列，所以{cn}=n

（2）由bn=2n﹣1得an=n2n﹣1，

所以Sn=1×20+2×21+3×22+…+n2n﹣1，①

2Sn=1×21+2×22+3×33+…+n2n，②

由②﹣①，得Sn=2n（n﹣1）+1

【解析】（1）数列{an}和{bn}（bn≠0，n∈N*），满足a1=b1=1，anbn+1﹣an+1bn+bn+1bn=0，又cn= ，可得cn+1﹣cn=1，即可证明；（2）利用错位相减法求和即可．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．