Question

已知

a

=(

3

2

，-

3

2

)，

b

=(sin

πx

4

，cos

πx

4

)，f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调递减区间．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时，y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得f(x)=

3

sin(

πx

4

-

π

3

)，结合正弦函数的性质可求函数的单调递减区间
（2）由函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称可得g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π(2-x)

4

-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

 +

π

3

)，结合x∈[0，

4

3

]可求函数的最大值

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

sin(

πx

4

-

π

3

)…（3分）
∴当

πx

4

-

π

3

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]时，f（x）单调递减…（5分）
解得：x∈[

10

3

+8k，

22

3

+8k]时，f（x）单调递减．…（7分）
（2）∵函数y=g（x）与y=f（x）关于直线x=1对称
∴g(x)=f(2-x)=

3

sin[

π(2-x)

4

-

π

3

]…（10分）
=

3

sin[

π

2

-

πx

4

-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

+

π

3

)…（12分）
∵x∈[0，

4

3

]∴

πx

4

+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]
∴cos(

πx

4

+

π

3

)∈[-

1

2

，

1

2

]
∴x=0时，gmax(x)=

3

2

…（14分）

点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示及三角辅助角公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的性质的考查，解题的关键是熟练应用正弦函数的性质