Question

16．已知顶点为原点O的抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点重合，C₁与C₂在第一和第四象限的交点分别为A、B．
（1）若△AOB是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，求抛物线C₁的方程；
（2）若AF⊥OF，求椭圆C₂的离心率e．

Answer 1

分析 （1）通过设抛物线的方程为y²=4cx，利用△AOB是边长为$2\sqrt{3}$的正三角形可知A（3，$\sqrt{3}$），再将点A代入抛物线的方程，计算即得结论；
（2）通过AF⊥OF可知点A的横坐标是c，代入椭圆方程可知A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），再将点A代入抛物线方程，利用b²=a²-c²，计算即得结论．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点为F（c，0），
依题意得抛物线的方程为：y²=4cx，
∵△AOB是边长为$2\sqrt{3}$的正三角形，
∴点A的坐标是（3，$\sqrt{3}$），
代入抛物线的方程y²=4cx，
解得：c=$\frac{1}{4}$，
故所求抛物线C₁的方程为：y²=x；
（2）∵AF⊥OF，∴点A的横坐标是c，
代入椭圆方程解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即点A的坐标是（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵点A在抛物线y²=4cx上，
∴$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=4c²，即b²=2ac，
将b²=a²-c²代入上式，整理得：$（\frac{c}{a}）^{2}+2•\frac{c}{a}-1=0$，
即e²+2e-1=0，解得：e=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜e＜1，
∴所求椭圆C₂的离心率e=$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．