Question

6．已知函数f（x）=x²-2ax+a，
（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，3]上的值域；
（2）若a＜0，求使函数f（x）=x²-2ax+a的定义域为[-1，1]，值域为[-2，2]的a的值．

Answer 1

分析 （1）求得a=2的函数的解析式，求出对称轴，结合区间的关系可得f（2）最小，f（0）最大，进而得到值域；
（2）讨论对称轴x=a与区间的关系，对a讨论，当-1≤a＜0时，当a＜-1时，结合单调性，可得a的值．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，
图象关于x=2对称，
∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，2]上单调减，在[2，3]上单调增，
∴最小值为f（2）=-2，而f（0）=2，f（3）=-1．
∴值域为[-2，2]．
（2）当-1≤a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=-2}\\{f（1）=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-{a}^{2}=-2}\\{1-2a+a=2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，
当a＜-1时，$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-2}\\{f（1）=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a+a=-2}\\{1-2a+a=2}\end{array}\right.$，解得a-1舍去．
综上所述a=-1．

点评 本题考查二次函数的值域的求法，注意对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．