Question

（文）数列{a_n}中a₁=0，，（1）求证数列为等差数列，并求出公差；（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n<n-ln(n+1)；（3）设，证明：对任意正整数n，m，都有.

Answer 1

（1）略 （2）略

（1）∵即，∴公差d=-1.
且首项为，故是等差数列.
（2）∵，∴.
设f(x)=x-ln(x+1),(x>0)，则，f(x)在(0,+∞)↑，且f(x)在[0,+∞)上连续，∴f(x)>f(0)=0,∴x>0时x>ln(x+1), ∴，即.
∴a_n<1-ln(n+1)+lnn，∴S_n<(1-ln2+ln1)+(1-ln3+ln2)+…+[1-ln(n+1)+lnn]=n-ln(n+1)故S_n<n-ln(n+1).
（3）∵，∴，当时，则，∴，
即n≥4；又当时，则，即n≤3，因此得b₁<b₂<b₃<b₄>b₅>b₆>…，又∵b₁=0，n≥2时，b_n>0，∴0≤b_n≤b₄.∴对任意正整数n、m，都有