Question

【题目】北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入 万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

Answer 1

【答案】
（1）解：设每件定价为t元，

则（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，

整理得t2﹣65t+1000≤025≤t≤40，

∴要满足条件，每件定价最多为40元

（2）解：由题得当x＞25时： 有解，

即： 有解．

又 =10，

当且仅当x=30＞25时取等号，

∴a≥12．

即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件

【解析】（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；（2）由题得当x＞25时： 有解，由分离参数和基本不等式，可得最值，即可得到a的范围．
【考点精析】关于本题考查的基本不等式在最值问题中的应用，需要了解用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能得出正确答案．