Question

（2010•广东模拟）已知数列{a_n}的首项为a₁=3，点（a_n，a_n+1）在直线3x-y=0（n∈N^*）上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求f'（1）的值，并化简．
（Ⅲ）若c_n=log₃a_n³-2（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将（a_n，a_n+1）代入直线3x-y=0，得出

an+1

an

=3易求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）利用导数运算及函数值求解，求得f′（1）=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，利用错位相消求和法化简计算．
（Ⅲ）所给的不等式是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．

解答：解：（Ⅰ）由已知有3a_n-a_n+1=0，∴

an+1

an

=3，
所以数列{a_n]为以3为公比，以a₁=3为首项的等比数列，
∴a_n=a₁3^n-1=3ⁿ．
（Ⅱ）f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ则
f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1
∴f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ   ①
∴3f′（1）=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹    ②
①-②得-2f′（1）=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(3n-1)

3-1

-n•3ⁿ⁺¹
∴f′（1 ）=-

3(3n-1)

4

+

n

2

•3n+1=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

（Ⅲ）证明：由已知c_n=3n-2，则 1+

1

cn

=1+

1

3n-2

，所以
(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

cn

)=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3n-2

)
下面用数学归纳法证明不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

成立．
①当n=1时，左边=2，右边=

3	4

，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

ck

)=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3k-2

)＞

3	3k+1

成立．
则当n=k+1时，左边(1+

1

c1

)( 1+

1

c2

)••(1+

1

ck

)[1+

1

3(k+1)-2

]
=(1+1)(1+

1

4

)…(1+

1

3k-2

)[1+

1

3(k+1)-2

]
＞

3	3k+1

•[1+

1

3(k+1)-2

]=

3	3k+1

•

3k+2

3k+1

=

3	(3k+2)3 (3k+1)2

只要证

3	(3k+2)3 (3k+1)2

＞＞

3	3(k+1)+1

成立即可
只需证   

(3k+2)3

(3k+1)2

＞3k+4成立，
只需证（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，
只需证27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k为正整数，显然成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

恒成立

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，函数与导数的知识，以及错位相消法数列求和、用数学归纳法、分析法证明不等式的数学方法．考查计算、论证能力．