Question

已知：a≠0，f（x）=x³+ax²-a²x-1，g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0时，求y=f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）与y=g（x）在区间(a，a+

1

2

)上是增函数，求a的范围；
（3） 若y=f（x）与y=g（x）的图象有三个不同的交点，记y=g（x）在区间[0，

1

4

]上的最小值为h（a），求h（a）．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间；
（2）讨论a的正负，根据函数y=f（x）与y=g（x）的单调增区间是区间(a，a+

1

2

)的子集建立方程组，解之即可；
（3）欲使y=f（x）与y=g（x）的图象有三个不同的交点，则x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1有三个解，可求出a的范围，根据a的范围求出y=g（x）在区间[0，

1

4

]上的最小值为h（a）即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=0
解得：x=

a

3

或-a
当x∈（-∞，

a

3

）或（-a，+∞）时，f'（x）＞0，
则f（x）的增区间为（-∞，

a

3

），（-a，+∞）
当x∈(

a

3

，-a)时，f'（x）＜0，
∴减区间为(

a

3

，-a)（4分）
（2）当a＜0时，则有

a+ 1 2 ≤ a 3 或-a≤a a+ 1 2 ≤ 1 2a

得a∈（-∞，-1]（7分）
当a＞0时，则有

a+ 1 2 ≤-a或 a 3 ≤a a≥ 1 2a

得a∈[

2

2

，+∞)（10分）
所以a∈(-∞，-1]∪[

2

2

，+∞)
（3）由x³+ax²-a²x-1=ax²-x-1得x（x²-a²+1）=0有三个解，
所以a＞1或a＜-1  （12分）
得h(a)=

- 1 4a -1(a≥2) a 16 - 5 4 (a＜-1或1＜a＜2)

（16分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及图象交点的问题，常常转化成方程根的个数，属于中档题．