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已知数列{an}满足a1=
1
4
,an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2,n∈N*).
(1)求证:数列{
1
an
+(-1)n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式an
(2)设bn=an•sin
(2n-17)π
2
,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:对任意n∈N*,有Tn
4
7
成立.
考点:等比数列的性质,数列递推式
专题:综合题,等差数列与等比数列
分析:(1)由an=
an-1
(-1)nan-1-2
,两边取倒数,并整理,即可证得数列{
1
an
+(-1)n}是等比数列,利用等比数列的通项公式,可求{an}的通项公式;
(2)先确定数列{bn}的通项公式,再进行放缩,利用等比数列的求和公式,即可证得结论.
解答: 证明:(1)∵an=
an-1
(-1)nan-1-2

1
an
+(-1)n=(-2)[
1
an-1
+(-1)n-1]
1
a1
+(-1)=3,
∴数列{
1
an
+(-1)n}是首项为3,公比为-2的等比数列.…4′
从而
1
an
+(-1)n=3•(-2)n-1
∴an=
1
3•(-2)n-1-(-1)n
…6′
(2)bn=an•sin
(2n-17)π
2
=
1
3•2n-1+1
…8′
当n≥3时,则Tn=
1
1+3
+
1
3•2+1
+…+
1
3•2n-1+1
1
4
+
1
7
+
1
3•22
+…+
1
3•2n-1

=
11
28
+
1
12
[1-(
1
2
)n-2]
1-
1
2
=
11
28
+
1
6
[1-(
1
2
)n-2
]<
11
28
+
1
6
4
7

∵T2<T3
4
7

∴对任意n∈N*,有Tn
4
7
成立. …14′
点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项与求和,考查不等式的证明,正确证明数列是等比数列是关键.
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2
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2
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1
3
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π
6
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3
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3
π
2
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x
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1
3
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n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

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