Question

已知函数f（x）=x-1+

a

ex

，（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，f′（x）=1-

a

ex

=

ex-a

ex

，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（-∞，lna）与（-∞，lna）两种情况写出f（x）的单调递减区间；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）=x-1+

1

ex

没有公共点，则x-1+

1

ex

=kx-1无解，则x-1+

1

ex

=kx-1可化为k=1+

1

xex

，
设g（x）=1+

1

xex

，求导，研究此函数的单调性即可解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-1+

a

ex

，
∴f′（x）=1-

a

ex

=

ex-a

ex

，由f′（x）=0得x=lna
∴当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，∴（-∞，lna）是f（x）的单调递减区间；
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的单调递增区间；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）=x-1+

1

ex

没有公共点，则x-1+

1

ex

=kx-1无解，
∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0
则x-1+

1

ex

=kx-1可化为k=1+

1

xex

，
设g（x）=1+

1

xex

，∴g′（x）=

-(x+1)

x2ex

∴g′（x）满足：在（-∞，-1）上g′（x）＞0，在（-1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，
∴g（x）满足：在（-∞，-1）上递增，在（-1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，
g（-1）=1-e，而当x→+∞时，g（x）→1，
∴g（x）的图象：

∴g（x）∈（-∞，1-e]∪（1，+∞）
无解时，k∈（1-e，1]，
∴k_max=1

点评：本题考查导数的应用，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．