Question

证明：（1）（n∈N）；
（2）2C_2n+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）．

Answer 1

【答案】分析：（1）从右边开始分析，将3看成1+2，由二项式定理展开可得左式，即原等式可得证明；
（2）观察左式，可将左式转化为（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ），由二项式系数的性质，（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ，（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2^2n-1，相加可得右式，即原等式可得证明；
（3）由二项式定理，将（1+）ⁿ展开可得1+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=1+1++C_n²+…+C_nⁿ；分析可得：（1+）ⁿ＞2；另一方面，用放缩法分析，，（1+）ⁿ=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+++…+＜1+1+++…+；整理可得右式的证明，综合可证得原不等式．
解答：证明：（1）右式=3ⁿ=（1+2）ⁿ=C₂2+C₂¹2¹+C₂²2²+…+C₂ⁿ2ⁿ==左式；
故得证；
（2）左式=（C_2n+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ+2^2n-1=3•2^2n-1=右式；
故得证；
（3）由二项式定理，（1+）ⁿ=1+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=1+1+C_n²+…+C_nⁿ；①
由①知，（1+）ⁿ＞2；
另一方面，（1+）ⁿ=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+++…+＜1+1+++…+
＜1+=3；
综合即2＜（1+）ⁿ＜3．
点评：本题考查二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，进而对原题题干进行恒等变形，最终证明命题．