Question

11．已知$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$cosβ=-\frac{1}{3}$，$sin（{α+β}）=\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$．
（ I）求tan2β的值；
（ II）求α的值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．
（II）由已知可求范围α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，可求α=$\frac{π}{4}$．

解答 （本题满分为14分）
解：（ I）∵$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$cosβ=-\frac{1}{3}$，可得：sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…2分
∴tan$β=\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}}$=-2$\sqrt{2}$，…4分
∴tan2β=$\frac{2tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$…7分
（ II）∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
又∵$sin（{α+β}）=\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，…9分
∴cosα=cos（α+β-β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$）×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴α=$\frac{π}{4}$．…14分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．