Question

7．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，由此能求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=2×3-$\sqrt{3}×4$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞
=6-4$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=0，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查向量的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的数量积和向量垂直的性质的合理运用．