Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E—PC—A的正弦值.（本题满分14分）

Answer 1

（1）见解析。（2） （3）。

       
试题分析：解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD ……………………2分
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，
∴EF∥AG
又AG面PEC，EF面PEC，
∴AG∥平面PEC ……………………4分
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，
∴AE∥平面PCD。
∴AE∥GF。
∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF。   ……………………………5分
∵PA＝3，AB＝4，∴PD＝5，AG＝，
又PA²＝PG•PD，∴PG    ………………………………………………7分
又，∴，∴ ………………………9分
（3）过E作EO⊥AC于点O，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E—PC—A的平面角 …………11分
，
又EF＝AG
∴             …………………14分
点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。