Question

已知命题p：对?x∈R，函数y=lg（2^x-m+1）有意义；命题q：指数函数f（x）=（5-2m）^x增函数．
（I）写出命题p的否定；
（II）若“p∧q”为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据全称命题的否定为特称命题可的原命题的否定．
（II）由已知若p为真，则2^x-m+1＞0，对x∈R恒成立，根据指数函数的性质，可求出命题P为真时实数m的取值范围；进而根据指数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题q为真时实数m的取值范围；结合若“p∧q”为真，则p、q均为真，可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）命题p的否定是：?x∈R，命函数y=lg（2^x-m+1）无意义．…（4分）
（II）若“p∧q”为真，则p、q均为真．…（5分）
若p为真，则2^x-m+1＞0，对x∈R恒成立，…（6分）
即2^x＞m-1，对x∈R恒成立，
∵对x∈R，2^x＞0，∴m-1≤0，∴m≤1．①…（9分）
若q为真，则5-2m＞1，∴m＜2．②…（11分）
由①，②可得实数m的取值范围为m≤1．…（12分）

点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的关系的应用，考查指数函数和对数函数的性质，其中求出命题P为真和命题q为真时实数a的取值范围是解答的关键，属于基础试题．