Question

设函数f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ） 当，即：时，．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
当，即：时，．
故a=0（舍去）或a=-3．
综上得：a的取值为：a=-1或a=-3． （5分）
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上递增，则满足：（1）；（2），
即方程f（x）=x在，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x²+2ax+a²+3a=0，设g（x）=x²+2ax+a²+3a，
则 ，解得：． （5分）
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
（1）；（2）．
由得，两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在上有两个不相等的实根．
设h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，则，解得：． （5分）
综上所述：．
分析：（Ⅰ）根据对称轴的位置，利用二次函数的单调性求出该二次函数在闭区间上的最大值，再由最大值为0，求出a的值．
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上递增，则有（1）；（2），即方程f（x）=x在，+∞）上有两个不相等的实根，由 求得a的取值范围．若f（x）在[α，β]上递减，同理求得a的取值范围．再把a的取值范围取并集，即得所求．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．