Question

在数列{a_n}中，a₁=a，以后各项由递推公式an+1=

2an

1+an

给出，写出这个数列的前4项：

a

、

2a

1+a

、

4a

1+3a

、

8a

1+7a

，并由此写出一个通项公式a_n=

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．

Answer 1

分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a_n与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．

解答：解：∵a₁=a，a_n+1=

2an

1+an

，∴a₂=

2a

1+a

，
a₃=

2a2

1+a2

=

4a 1+a

1+ 2a 1+a

=

4a

1+3a

，
a₄=

2a3

1+a3

=

8a 1+3a

1+ 4a 1+3a

=

8a

1+7a

．
观察规律：a_n=

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．
故答案为：a，

2a

1+a

，

4a

1+3a

，

8a

1+7a

；

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．

点评：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．