Question

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：MF∥面ABCD；
（Ⅱ）判断直线MF与平面BDD₁B₁的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥D₁-BDF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而MF∥OA，所以MF∥平面ABCD；
（II）菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，由BB₁⊥平面ABCD，得AC⊥BB₁，所以AC⊥平面BDD₁B₁，再结合AC∥MF，得AC⊥平面BDD₁B₁；
（III）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面BDD₁B₁，从而BH是三棱锥B-DD₁F的高，算出△DD₁F的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥D₁-BDF的体积．

解答：解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，
∵△BD₁D中，OM是中位线，∴OM∥D₁D且OM=

1

2

D₁D，
∵矩形AA₁D₁D中，AF∥D₁D且AF=

1

2

D₁D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
∵MF?平面ABCD，OA⊆平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD₁B₁，证明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁，
∵BB₁、BD是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴AC⊥平面BDD₁B₁，
∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD₁B₁，------------（8分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD
∴BH⊥AA₁，
∵AD、AA₁是平面BDD₁B₁内的相交直线
∴BH⊥平面BDD₁B₁，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=

3

2

，
因此，三棱锥D₁-BDF的体积V=V_B-D1DF=

1

3

S_△DD1F•BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

--------（12分）

点评：本题在特殊四棱柱中，证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．