Question

已知函数g（x）=（a-2）x（x＞-1），函数f（x）=ln（1+x）+bx的图象如图所示．
（I）求b的值；
（II）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间．

Answer 1

（I）f′(x)=

1

1+x

+b，
由图知f'（-0.5）=0⇒b=-2；
（II）F（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-2x-（a-2）x=ln（1+x）-ax，得到F′(x)=

1

1+x

-a，
令F'（x）=

1

1+x

-a＞0⇒因为x+1＞0⇒ax＜1-a
当a＞0时，F'（x）＞0⇒-1＜x＜

1

a

-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，

1

a

-1），单调减区间(

1

a

-1，+∞)；
当a＜0时，F'（x）＞0⇒x＞-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞）；
当a=0时，F'（x）＞0⇒x＞-1，故函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞），
综上所述：
当a＞0时，函数F（x）的单调增区间是(-1，

1

a

-1)，单调减区间是(

1

a

-1，+∞)．
当a≤0时，函数F（x）的单调增区间是（-1，+∞）．