Question

19．设函数$f（x）=2ax-\frac{a}{x}+lnx$
（1）当$a=-\frac{1}{3}时$，求函数的单调区间
（2）若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当$a=-\frac{1}{3}时$，函数$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，x＞0，利用导数法，可得函数的单调区间
（2）若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，则$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≥0，或$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，分类讨论，可得a的取值范围．

解答 解：（1）当$a=-\frac{1}{3}时$，函数$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，x＞0，
则$f′（x）=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$-\frac{2{x}^{2}-3x+1}{3{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，则x=$\frac{1}{2}$，或x=1，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，f′（x）＞0，
故函数$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$的单调递减区间为：（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞）；
单调递增区间为：（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，
则$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≥0，或$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
当a=0时，f′（x）＞0恒成立，满足条件；
当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，满足条件；
当a＜0时，则$\frac{8{a}^{2}-1}{8a}≤0$，解得：a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
综上所述，a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，或a≥0

点评 本题考查的知识点函数的单调性，导数符号与原函数单调性的关系，恒成立问题，分类讨论思想，难度中档．