Question

4．若0＜α＜π，0＜β＜π，并且8cos²α-9tan²β+$\sqrt{3}$（8sinα+6tanβ）=17，求两个角α，β

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式，配方法化简已知可得-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，从而解得sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围0＜α＜π，0＜β＜π，即可得解．

解答 解：∵8cos²α-9tan²β+$\sqrt{3}$（8sinα+6tanβ）=17，
⇒-8sin²α-9tan²β+8$\sqrt{3}$sinα+6$\sqrt{3}$tanβ=9，
⇒-8sin²α+8$\sqrt{3}$sinα=9tan²β-6$\sqrt{3}$tanβ+9，
⇒6-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-3+9，
⇒-8（sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=9（tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
⇒sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，tanβ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=0，
⇒sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜α＜π，0＜β＜π，
∴α=$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，β=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，配方法在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数，正切函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．