Question

函数f（x）=ax³+bx²的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在区间（m-1，m+1）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=ax³+bx²的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直，建立方程组，这样可以求出a，b的值；
（2）根据（1）得到函数，导函数的解析式，确定函数的单调增区间，利用函数f（x）在区间（m-1，m+1）上单调递增，可建立不等关系，这样就可以求实数m的取值范围

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，∴f'（x）=3ax²+2bx
由已知函数f（x）=ax³+bx²的图象过点M（1，4），在点M处的切线恰与直线x+9y+5=0垂直
可得

f(1)=4 f′(1)=9

即

a+b=4 3a+2b=9

解得a=1，b=3…（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²
∴f'（x）=3x²+6x=3x（x+2）
由f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，∴f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）上单调递增…（9分）
∵函数f（x）在区间（m-1，m+1）上单调递增，
∴m+1≤-2或m-1≥0，即m≤-3或m≥1，
∴实数m的取值范围是m≤-3或m≥1，…（13分）

点评：导数的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率，依此可以解决切线问题，函数在区间上单调递增，这个区间是函数增区间的子区间，要牢牢记住．