Question

（2012•红桥区一模）已知函数f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a≠0）
（Ⅰ）若f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=-

1

3

x+1垂直，求实数a的取值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=1时，过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出由于切线与直线y=-

1

3

x+1垂直，则f′（-1）=3，解方程得到a的值；
（Ⅱ）由函数的导数，令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）函数f（x）=x³-3x²-2，设切点，由于切线过点M（2，m）（m≠-6），由切线斜率相等得到3x02-6x0=

y0-m

x0-2

，整理方程，由于过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，问题转化为g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m的极值问题，列出不等式解出即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=3ax²-6x，且在x=-1处的切线与直线y=-

1

3

x+1垂直，
所以3a+6=3，所以a=-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x³-3x²+4，则f′（x）=-3x²-6x，
令f′（x）=0⇒x₁=0，x₂=-2．
显然当x＜-2或x＞0时，f′（x）＜0；当-2＜x＜0时，f′（x）＞0．
则函数f（x）的单调减区间是（-∞，-2），（0，+∞），函数f（x）的单调增区间是（-2，0）；
（Ⅲ）当a=1时，函数f（x）=x³-3x²-2，则f′（x）=3x²-6x，
设切点为P（x₀，y₀），则y0=x03-3x02-2；f′(x0)=3x02-6x0
又由曲线y=f（x）的切线过点M（2，m）（m≠-6），
则3x02-6x0=

y0-m

x0-2

=

x03-3x02-2-m

x0-2

，
整理得2x03-9x02+12x0+2+m=0
令g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m，有g′(x)=6x 2-18x+12，
令g′（x）＞0，解得x＜1或x＞2，令g′（x）＜0，解得1＜x＜2
故函数函数g（x）的极大值为g（1），极小值为g（2）
由于过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，则2x03-9x02+12x0+2+m=0有三个不同的根
即函数g(x)=2x 3-9x 2+12x +2+m有三个不同的零点，亦即函数g（x）的极大值大于0且极小值小于0
即

g(1)=7+m＞0 g(2)=6+m＜0

，解得-7＜m＜-6，
故实数m的取值范围为（-7，-6）．

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化的思想来解决问题．