Question

15．焦点在x轴上且渐近线方程为（3x+4y）（3x-4y）=0的双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，由题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，由双曲线a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由渐近线方程为（3x+4y）（3x-4y）=0
即渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}x$，
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
又c²=a²+b²=a²+$\frac{9}{16}{a}^{2}$=$\frac{25}{16}{a}^{2}$，
即c=$\frac{5}{4}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．