分析 (1)g(x)=logax,设切点(x0,y0),则根据切线与导数的关系列出方程组解出a.
(2)由f(x)和g(x)关于y=x对称可知,当f(x)>x恒成立时,g(x)<x恒成立,即f(x)>g(x)恒成立.令h(x)=ax-x,令hmin(x)>0解出.
解答 解:(1)g(x)=logax,g′(x)=$\frac{lo{g}_{a}e}{x}$,设y=2x与g(x)相切于点(x0,y0),则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lo{g}_{a}e}{{x}_{0}}=2}\\{{y}_{0}=2{x}_{0}}\\{{y}_{0}=lo{g}_{a}{x}_{0}}\end{array}\right.$,解得a=e${\;}^{\frac{1}{2e}}$.
(2)∵f(x)与g(x)互为反函数,∴f(x)与g(x)的图象关于y=x对称,
∵x>0时,f(x)>g(x)恒成立,∴当f(x)>x恒成立时,g(x)<x恒成立,且a>1.
令h(x)=f(x)-x=ax-x,则h′(x)=axlna-1,令axlna-1=0,则ax=$\frac{1}{lna}$=logae.∴x=loga(logae).
当0<x<loga(logae)时,h′(x)<0,当x>loga(logae)时,h′(x)>0,
∴hmin(x)=h(loga(logae))=logae-loga(logae)=loga($\frac{e}{lo{g}_{a}e}$).
∵f(x)>x在(0,+∞)上恒成立,∴hmin(x)>0,即loga($\frac{e}{lo{g}_{a}e}$)>0.∴$\frac{e}{lo{g}_{a}e}$>1,即0<logae<e,∴e<ae,∴a>e${\;}^{\frac{1}{e}}$.
∴实数a的范围是(e${\;}^{\frac{1}{e}}$,+∞).
点评 本题考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性和最值,函数恒成立问题,属于难题.
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A. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | B. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | ||
C. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 | D. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 |
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A. | $\sqrt{5}$ | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | 1 |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 2 | C. | -2 | D. | -$\frac{1}{2}$ |
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