如图甲,在平面四边形ABCD中,已知,,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E,F分别为棱AC,AD的中点.
(1)求证:DC平面ABC;
(2)设,求三棱锥A-BFE的体积.
(1)证明:见解析;(2).
解析试题分析:(1)注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得;
在图乙中,可得AB⊥CD.根据DC⊥BC,即可得到DC⊥平面ABC.
(2)首先根据E,F分别为AC,AD的中点,得到EF//CD,根据(1)知,DC⊥平面ABC,得到EF⊥平面ABC,从而得到
在图甲中,根据给定角度及长度,计算“不变量”,得,BD=2,BC=,EF=CD=,
利用体积公式计算即得所求.
解答本题的关键是确定“垂直关系”,这也是难点所在,平时学习中,应特别注意转化意识的培养,等体积转化的方法,是立体几何中常用方法之一.
(1)证明:在图甲中∵且 ∴,
即 1分
在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC , 且平面ABD∩平面BDC=BD
4分
又,,且,∴DC⊥平面ABC. 6分
(2)解:, 7分
又由(1)知,DC⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 8分
所以, 9分
在图甲中,
由得,, 10分
,
11分
12分
考点:平行关系,垂直关系,几何体的体积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC=3,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点.
(1)求证:DC∥平面PAB;
(2)求四棱锥P﹣ABCD的体积.
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=600,E为PA的中点,F为PC上不同于P、C的任意一点.
(1)求证:PC∥面EBD
(2)求异面直线AC与PB间的距离
(3)求三棱锥E-BDF的体积.
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(2013•湖北)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.
(1)证明:中截面DEFG是梯形;
(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中﹣h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.
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已知矩形是圆柱体的轴截面,分别是下底面圆和上底面圆的圆心,母线长与底面圆的直径长之比为,且该圆柱体的体积为,如图所示.
(1)求圆柱体的侧面积的值;
(2)若是半圆弧的中点,点在半径上,且,异面直线与所成的角为,求的值.
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在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
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