Question

17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的大小；
（2）设函数$f（x）=sinx+2{cos^2}\frac{x}{2}-1，a=2，f（B）=\sqrt{2}$时，求b．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，利用特殊角的三角函数值可求A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），结合已知可求B，进而利用正弦定理可求b的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵在△ABC中，b²+c²-a²=bc．
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…5分
（2）∵f（x）=sinx+2cos²$\frac{x}{2}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（B）=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得B=$\frac{π}{4}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$…10分

点评 本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．