Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC₁上的任一点．

(1)求证：不论P在侧棱CC₁上何位置，总有BD⊥AP；

(2)若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P与平面ABCD所成二面角的余弦值；

(3)当P点在侧棱CC₁上何处时，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分线．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC， ，　 (2)延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD． 过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC． 所以 . 在 中， ， 得 　　 为所求． (3)设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而 在 依题意，得.　　． ． 即 故P距C点的距离是侧棱的 别解：如图，建立空间直角坐标系． 设 依题意，得 即 故P距C点的距离是侧棱的