Question

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F₂，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

Answer 1

解：（Ⅰ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理椭圆方程得 =1，∴短轴b=4，a=2
∴c==2，
则A（0，4 ），F₁（2，0）
∴=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又，，
两式相减可得4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0，
∴k=（k为BC斜率）
令BC直线为：y=x+b，则y₁+y₂=（x₁+x₂）+2b
∴b=-
∴BC直线方程为：y=x-
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0 （1）
设直线BC方程为y=kx+b代入4x²+5y²=80，得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0
∴，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=，y₁y₂=
代入（1）式得，，
解得b=4（舍）或
故直线BC过定点（0，）．
分析：（Ⅰ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F₁的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得．
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0（1）．设直线BC方程为y=kx+b代入4x²+5y²=80，利用韦达定理结合（1）式，即可得直线BC过定点．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．