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12.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知sinAsinC=$\frac{3}{4}$,b2=ac.
(1)求角B的值;
(2)若b=$\sqrt{3}$,求△ABC的周长.

分析 (1)由b2=ac,利用正弦定理,结合sinAsinC=$\frac{3}{4}$,求出sinB,即可求角B的大小.
(2)由已知利用余弦定理可求a+c的值,进而可求周长的值.

解答 (本题满分为10分)
解:(1)因为b2=ac,
所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC.
因为sinAsinC=$\frac{3}{4}$,
所以sin2B=$\frac{3}{4}$.
因为sinB>0,
所以sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因为0<B<$\frac{π}{2}$,
所以B=$\frac{π}{3}$. …(5分)
(2)因为:B=$\frac{π}{3}$,b=$\sqrt{3}$,b2=ac
所以:由余弦定理可得:3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9,
解得:a+c=2$\sqrt{3}$,
所以:△ABC的周长为:a+b+c=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$…(10分)

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

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