Question

设f(

x

)=

1

x

+2

x

．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设函数g（x）=aχ-

1

x2

+f（x），则是否存在实数a，使得g（x）为奇函数？说明理由；
（3）解不等式f（x）-χ＞2．

Answer 1

分析：（1）把已知解析式中的

x

设为t，解出x后代入即可确定出f（x）的解析式；
（2）把求出的f（x）的解析式代入到g（x）中确定出g（x）的解析式，求出g（x）的定义域，求出g（1）的值，由于g（-1）不存在，进而不存在实数a使得g（x）为奇函数；
（3）把f（x）的解析式代入到不等式中，因式分解后，根据x大于0和图形即可得到原不等式的解集．

解答：解：（1）由f(

x

)=

1

x

+2

x

，设

x

=t，解得x=t²（t＞0），
把x=t²代入得：f（t）=

1

t2

+2t，即f（x）=

1

x2

+2x（x＞0）；
（2）∵g（x）=ax²-

1

x2

+f（x）=ax²+2x，定义域为（0，+∞），
∵g（1）=2+a，而g（-1）不存在，
∴g（1）≠-g（-1），即不存在实数a使得g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）-x＞2，即

1

x2

+x-2＞0，
去分母得：x³-2x²+1＞0，即（x³-x²）-（x²-1）＞0，
因式分解得：（x-1）（x²-x-1）＞0，
即（x-1）（x-

1+ 5

2

）（x-

1- 5

2

）＞0，

∴结合x＞0和图形得：0＜x＜1或x＞

1+ 5

2

．
因此原不等式的解集为{x|0＜x＜1或x＞

5 -1

2

}．

点评：此题考查学生掌握函数解析式的求法及奇函数的性质，考查了数形结合的数学思想的运用，是一道中档题．