Question

【题目】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA＝BC(a＞0)．

(1)当a＝1时，求证：BD⊥PC；

(2)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由已知得PA⊥BD，ABCD是正方形，BD⊥AC，由此能证明BD⊥PC．（2）AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用向量法求出平面PQD的法向量及平面PAD的法向量即可求出二面角A-PD-Q的余弦值．

试题解析：

(1)当a＝1时，底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

又∵BD⊥PA，∴BD⊥面PAC，又PC面PAC，∴BD⊥PC.

(2)∵AB，AD，AP两两垂直，∴分别以为它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

令AB＝1，可得BC＝a，则B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，P(0,0,1)．

设BQ＝m，则Q(1，m,0)(0≤m≤a)，

要使PQ⊥QD，只要·＝－1＋m(a－m)＝0，

即m2－am＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0a＝2，此时m＝1.

∴BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，

此时，Q为BC的中点，且a＝2，设平面PQD的法向量p＝(x，y,1)，

则即

解得p＝(，，1)，

取平面PAD的法向量q＝(1,0,0)，

∴cos<p，q>＝＝，

即二面角A－PD－Q的余弦值为.