【题目】如图,在四棱锥中,是等腰三角形,且.四边形是直角梯形,,,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当平面 平面时,求四棱锥的体积;
(Ⅲ)请在图中所给的五个点中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线垂直,并给出证明.
【答案】(1)见解析; (2) ; (3)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由已知AB∥DC,直接利用线面平行的判定证明AB∥平面PDC;(Ⅱ)取BC中点D,由
PB=PC,可得PD⊥BC,结合面面垂直的性质可得PD⊥平面ABCD,则PD为四棱锥P﹣ABCD的
高,求出底面直角梯形的面积,代入棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积;(Ⅲ)图中PA
⊥BC.由(Ⅱ)知,PD⊥BC,作CG⊥AB,在直角三角形CGB中,可得cos,再求
解三角形可得AD⊥BC,由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAD,从而得到PA⊥BC.
(Ⅰ)证明:∵AB∥DC,且DC平面PDC,AB平面PDC,
∴AB∥平面PDC;
(Ⅱ)解:取BC中点D,∵PB=PC,∴PD⊥BC,
又平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,
∴PD⊥平面ABCD,则PD为四棱锥P﹣ABCD的高,
在底面直角梯形ABCD中,由AB=5,AD=4,DC=3,
得,且BC=.
又PB=PC=3,∴PD=.
∴;
(Ⅲ)解:图中PA⊥BC.
证明如下:由(Ⅱ)知,PD⊥BC,
作CG⊥AB,在直角三角形CGB中,可得cos,
在三角形ADB中,由余弦定理可得,
则AD2+BD2=AB2,
∴AD⊥BC,
又AD∩PD=D,∴BC⊥平面PAD,则PA⊥BC.
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【题目】设数列{an}(n≥1,n∈N)满足a1=2,a2=6,且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=2,若[x]表示不超过x的最大整数,则[ + +…+ ]= .
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【题目】对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0 , 则称点(x0 , f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3﹣3x2+ ,则g( )+g( )+…+g( )=( )
A.100
B.50
C.
D.0
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【题目】如图,ABC﹣A1B1C1是底面边长为2,高为 的正三棱柱,经过AB的截面与上底面相交于PQ,设C1P=λC1A1(0<λ<1).、
(1)证明:PQ∥A1B1;
(2)当 时,求点C到平面APQB的距离.
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【题目】已知直线l的参数方程为 ,(t为参数),以坐标原点为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ= .
(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程.
(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出此时点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC,
(1)求证:BE=2AD;
(2)求函数AC=1,BC=2时,求AD的长.
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