Question

3．如图，在五棱锥F-ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．
（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；
（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）点G为靠近D的三等分点，证明平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，可得AG∥平面BCF；
（2）建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量方法求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．

解答 解：（1）点G为靠近D的三等分点，…（1分）
在线段CD取一点H，使得CH=2，连结AH，GH…（2分）
∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD．
又AB=CH，∴四边形ABCH为平行四边形，∴AH∥BC，
∵点G为靠近D的三等分点，∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF，
∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，∴AG∥平面BCF…（5分）
（2）取AE的中点K，连接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，
∴FK⊥平面ABCDE…（6分）
如图，建立空间直角坐标系B-xyz，则$D（{3，3，0}），C（{3，0，0}），E（{1，3，0}），F（{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

设EM=m（0＜m＜2），则M（1+m，3，0）…（7分）
∵翻折后，D与F重合，∴DM=FM，又FM²=KM²+FK²，
故${（{m-2}）^2}={（{m+\frac{1}{2}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}⇒m=\frac{3}{5}$，从而，$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{8}{5}$，3，0）…（8分）
$\overrightarrow{BE}$=（1，3，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
设n=（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=3，则$n=（{3，-1，\sqrt{2}}）$…（10分）
设直线BM与平面BEF所成角为α，则sinα=$\frac{\frac{9}{5}}{\frac{17}{5}×2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{34}$，
故直线BM与平面BEF所成角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{34}$…（12分）

点评 本题考查平面与平面平行、线面平行的判定，考查向量知识的运用，属于中档题．