Question

（2013•绵阳二模）动点M（x，y）与定点F（l，0）的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数

1

2

，O为坐标原点．
（I ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（II） 已知圆C的圆心在原点，半径长为

2

是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A，B两点，且使等式

AP

•

PB

=

OP

2成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理即得

x2

4

+

y2

3

=1，可得轨迹E为焦点在x轴上的椭圆．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据向量数量积的运算性质，结合OP⊥AB化简得

OA

•

OB

=0．求出圆C方程为x²+y²=2，假设满足条件的直线m存在，分直线m的斜率存在与不存在两种情况加以讨论，联解直线m与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的方程组，结合根与系数的关系建立x₁+x₂、x₁x₂关于斜率k和纵截距b的等式，所得到的方程均无实数解，由此可得不存在直线m满足题中的条件．

解答：解：（Ⅰ）∵|MF|=

(x-1)2+y2

，M（x，y）到直线l：x=4的距离为|x-4|，
∴由题意，得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
化简整理，得：

x2

4

+

y2

3

=1，可得轨迹E为焦点在x轴上的椭圆．    …（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

OA

•

OB

=（

OP

+

PA

）•（

OP

+

PB

）=

OP

2+

OP

•

PB

+

PA

•

OP

+

PA

•

PB

，
由题知OP⊥AB，故

OP

•

PB

=

PA

•

OP

=0．∴

OA

•

OB

=

OP

2+

PA

•

PB

=0．
∵圆C的圆心在原点，半径长为

2

，∴圆C方程为x²+y²=2．
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=±

2

，
代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得y=±

6

2

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-2-

6

4

≠0，这与

OA

•

OB

=0矛盾，故此时m不存在．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，
∴|OP|=

|b|

1+k2

=

2

，即b²=2k²+2．
联立

x2

4

+

y2

3

=1与y=kx+b得，（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8kb

3+4k2

，x₁x₂=

4b2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

3b2-12k2

3+4k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4b2-12

3+4k2

+

3b2-12k2

3+4k2

=0．
∴7b²-12k²-12=0，
又∵b²=2k²+2，
∴2k²+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．…（13分）

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并讨论了直线m与曲线的位置关系．着重考查了椭圆的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题．